Onko R=Q?

Hahmottelen näkemystäni, että rationaalilukujen joukko Q = reaalilukujen joukko R.

Zöözi Cantor

Sir Georg Cantor (lausutaan [ˈɡeːɔʁk ˈkantɔɐ̯]) (1845-1918) loi välineistön ja käsitteet, joilla äärettömät joukot saatiin matematiikkaan. Ennen Cantoria muun muassa Galileo Galilei vastusti äärettömien joukkojen hyväksymistä matematiikkaan, koska se johtaa sellaiseen paradoksilta haiskahtavaan tilanteeseen, että parillisia lukuja on "yhtä paljon" kuin kaikkia lukuja. Siis joukon aito osajoukko olisi yhtä mahtava kuin joukko itse. Nykyisin tämä paradoksilta haiskahtava tilanne on hyväksytty äärettömän joukon määrittelyksi: joukko on ääretön, jos sillä on aito osajoukko, mikä on yhtä mahtava kuin se. Meikäläisen mielestä "vanhassa vara parempi" ja ajattelen samoin kuin Galileo.

Äärettömien joukkojen teoriassa on käsite "numeroituvuus" tärkeä. Jokin joukko X on numeroituva, jos se on "yhtä mahtava" kuin luonnollisten lukujen joukko N={0,1,2,... .}. Yhtä mahtava se taas on, jos - ja vain jos - löytyy yksikäsitteinen kuvaus X:stä N:ään, jossa jokaiseen X:n alkioon voidaan liittää eri N:n alkio, siis luonnollinen luku, ja samoin jokaiseen N:n alkioon voidaan liittää yksikäsitteinen X:n alkio. Hienosti sanottuna kyseessä on bijektiivinen kuvaus.

Numeroituvuus merkitsee sitä, että joukon X kaikki alkiot voidaan luetella jossakin järjestyksessä siten, että niihin jokaiseen liitetään eri järjestysnumero 0,1,2,... Voisi äkkiä ajatella, että esimerkiksi murtolukujen joukko olisi "mahtavampi" kuin luonnollisten lukujen joukko, sillä voidaanhan kaikki luonnolliset luvut kuvata minkä tahansa kahden erisuuren murtoluvun a ja b väliin vaikkapa kuvauksella: Josta siis f(0)=a ja f(n) lähestyy b:tä kun n lähestyy ääretöntä. f(0)=b-(b-a)/(0+1)=b-b+a=a ja f(99999999)=b+(b-a)/100000000. Esimerkiksi jos a=18,3 ja b=18,8 saadaan:

f(0)=	183/10	18.3
f(1)=	371/20	18.55
f(2)=	559/30	18.6333333333333
f(3)=	747/40	18.675
f(4)=	187/10	18.7
f(5)=	1123/60	18.7166666666667
f(6)=	1311/70	18.7285714285714
f(7)=	1499/80	18.7375
f(8)=	1687/90	18.7444444444444
f(9)=	75/4	18.75
f(10)=	2063/110	18.7545454545455
f(100)=	18983/1010	18.7950495049505
f(200)=	37783/2010	18.7975124378109
f(400)=	21111/1123	18.798753117207
f(800)=	24082/1281	18.7993757802747
f(1600)=	36133/1922	18.7996876951905
f(3200)=	24045/1279	18.7998437988129
f(6400)=	48109/2559	18.7999218872051
f(12800)=	96237/5119	18.7999609405515
f(25600)=	192493/10239	18.7999804695129
f(51200)=	385005/20479	18.7999902345657

a ja b voidaan valita siis mielivaltaisen läheltä toisiaan, ja tällaisia välejä mahtuu mihin tahansa kahden annetun luvun väliin vielä lukemattomasti, ja vaikka niiden pituus lukuakselilla voidaan saada mielivaltaisen lähelle nollaa, niin näihin kaikkiin väleihin erikseen voidaan kaikki luvut 0,1,2,... kuvata. Jokaisessa välissä "riittäisi siis lueteltavaa kaikille luonnollisille luvuille loppuelämäksi". Tuntuu oudolta, että kuitenkin on olemassa määritelmä "yhtä mahtavuus", joka siis sanoo, että luonnollisten lukujen joukko N on yhtä mahtava kuin koko murtolukujen joukko Q, kun näyttäisi ilmeiseltä, että murtolukujen joukko Q on äärettömän monta kertaa "suurempi" kuin N.

Joukkojen Q ja N "yhtämahtavuutta" perustellaan eräänlaisella luettelotempulla. Kaikki rationaaliluvut eli murtoluvut ovat siis määriteltävissä kahden luonnollisen luvun n ja m jakolaskuna eli osamääränä n/m. Q on niiden alkioiden n/m joukko, missä n ja m kuuluvat N:ään. Tehdään kaksiulotteinen taulukko, jossa riveittäin kasvaa n ja sarakkeittain m.

Annetaan nyt jokaiselle murtoluvulle järjestysnumero siten, että luvut luetellaan vinottain. Jokaiseen annettuun murtolukuun n/m voidaan näin liittää yksi ja määrätty luonnollinen luku. Sivuutan tässä nyt negatiiviset luvut, sillä ne voidaan lisätä luetteloon muodostamalla toinen samanlainen taulukko ja ottamalla joka toisen luvun sieltä. Murtolukujen joukossa samaistetaan luvut, jotka ovat muotoa (i*n)/(i*m) ja n/m. Esimerkiksi kaikki vinoakselilla n,n olevat luvut 1/1, 2/2, ... ovat samat kuin 1, joista vain ensimmäinen 1/1 otetaan ja muut pyyhitään yli. Samoin 6/2 = 3/1 jne... Näihin jokaiseen on kuitenkin liitetty luonnollinen luku. Luonnollisia lukuja pitäisi olla siis "niin paljon enemmän", että niitä on varaa tuhlata ylimääräisten numerointiin, vaikka edellä vähän jo perustelin, miksi niitä on äärettömän monta kertaa vähemmän.

Vaikka murtoluvut voidaan Cantorin ja nykymatemaatikoiden mielestä luetella, niin reaalilukuja - joihin kuuluvat myös päättymättömät desimaalikehitelmät kuten 0,1234567891011121314..., pii=3,141592643589 jne. ei sentään voida.

Heidän todistuksensa on seuraavanlainen (perustuu vastaväitteeseen): oletetaan, että kaikki reaaliluvut väliltä 0...1 (edes tältä väliltä) voitaisiin luetella jossakin järjestyksessä, esimerkiksi:

I:

r(0)=0,89737775667080080857467873875759757587462856567674... r(1)=0,5767747387376876764474874476086083348685378588860868... r(2)=0,567800000000000000000000000000000000000000000000000000 r(3)=0,45466745453679885796799779767766796708204820099599496...

Konstruoidaan nyt luku r siten, että käydään listaa läpi ja jokaisen luvun r(n) kohdalla lisätään r:ään luvun r(n) n:s desimaali siten, että siihen lisätään 1. Jos luvun r(n) n:s desimaalinumero on 3, laitetaan r:ään 4. 9:stä laitetaan 0. Luvun r alku näyttää siis: 0,9887...

Luku r tulee siis eroamaan kaikista luetelluista luvuista, koska se eroaa niistä jokaisesta ainakin yhdellä desimaalilla. Koskaan ei tiedetä, voisiko luvun r(n) kohdalla konstruoitu luku r olla kuitenkin jo seuraava, mutta seuraavan luvun kohdalla jatketaan luvun r konstruointia siten, että se eroaa kaikista jo luetelluista luvuista. Kuinka tämä eroaisi siitä, että todistettaisiin, ettei edes luonnollisia lukuja voida luetella missään järjestyksessä vastaavalla tavalla? Oletetaan, että luonnolliset luvut voitaisiin luetella jossakin järjestyksessä.

f(0)=0
f(1)=5453533
f(2)=5367568797
f(3)=1

Yleensähän luonnolliset luvut luetellaan suuruusjärjestyksessä 0,1,2,... mutta tässä nyt oletetaan, että ne olisi voitu edes jossakin järjestyksessä luetella. Konstruoidaan nyt luku i siten, että aina luvun f(n) kohdalla siihen lisätään f(n)+1. Aluksi i on siis 0 ja siihen lisätään f(0):n kohdalla f(0)+1. Saadaan

f(0)=0 i=0+1=1
f(1)=5453533 i=1+5453533+1=5453535
f(2)=5367568797 i=5453535+5367568797+1=5373022332
f(3)=1 i=5373022332+1=5373022333

Luku i eroaa varmasti kaikista jo luetelluista luvuista, onhan se niitä kaikkia suurempi. Siis luonnollisia lukuja ei voida luetella? Samoin kuin ei reaalilukuja. Vai miten tämä eroaa todistuksesta, jossa todistettiin että reaalilukuja ei voida luetella? Jos yrität selittää jotain, että reaalilukuja koskevassa todistuksessa ollaan jo etukäteen varmoja, että konstruoitua lukua ei tule olemaan luettelossa, kun taas esimerkiksi lueteltaessa luonnollisia lukuja ihan tavallisessa suuruusjärjestyksessä, ollaan varmoja, että mille tahansa luvulle n löytyy siitä paikka - se on nimittäin n:ntenä luettelossa - niin se ei päde. Sillä voidaanhan reaalilukuja yrittää luetella toisella tavalla: aina luvun r(n) kohdalla konstruoitu luku r siirretään seuraavaksi ja sitä seuraavia yhden pykälän eteenpäin.

Siis edellisen yrityksen I tapa luetella reaalilukuja muutetaan seuraavanlaiseksi:

r(0)=0,89737775667080080857467873875759757587462856567674...
r(1)=0,9
r(2)=0,5767747387376876764474874476086083348685378588860868...
r(3)=0,98
r(4)=0,567800000000000000000000000000000000000000000000000000
r(5)=0,988
r(6)=0,45466745453679885796799779767766796708204820099599496...
r(7)=0,9887

Tässä luettelossa on nyt tilanne jokaisen luvun kohdalla sellainen, että vaikka kuinka yritetään konstruoida desimaalilukua, jota ei voida luetella, niin se änkeää itsensä heti seuraavaksi. Ihan sama kuin jos luonnollisia lukuja lueteltaessa konstruoitaisiin jokaisen luvun kohdalla n luku n+1 ja todistetaan, ettei luonnollisia lukuja voida luetella, koska jokaisen luvun kohdalla on konstruoitavissa luku, joka ei ole esiintynyt listassa. Luonnollisia lukuja lueteltaessa ovat täsmälleen samat ehdot voimassa kuin tavassa yrittää luetella desimaalilukuja väliltä 0...1 todistettaessa ettei niin voi tehdä.

Jokaisen luvun kohdalla konstruoidaan luku, jota ei ole ollut listassa.
Siis, pääteltiin, että on olemassa luku, joka ei ole listassa.
Luetteloa muodostettaessa siitä ei kuitenkaan tiedetä muuta kuin että se ei ole esiintynyt vielä (ja yllä olevassa tavassa II sehän aina esiintyy jo seuraavana myös desimaaliluvuilla).

Mikä on se matemaattisen tarkasti ilmaistavissa oleva ero?

Matematiikanhan väitetään olevan tarkkaa ja eksaktia, eikä siinä saisi pitäytyä mihinkään "musta tuntuu" -todistuksiin. Kyllä minustakin tuntuu, ettei reaalilukuja voida luetella, mutta minusta tuntuu myös, ettei rationaalilukuja voida liittää yksikäsitteisesti luonnollisiin lukuihin. Ja itse asiassa minusta tuntuu, ettei edes luonnollisia lukuja voida luetella - tai ainakaan niitä ei voida luetella samasta syystä ja samanlaisen todistuksen perusteella kuin desimaalilukuja.

Palataan rationaalilukujen luettelointiyritykseen taulukkotempulla, josta muuten voidaan todeta, että käsittääkseni mitään suoraa lauseketta ei ole olemassa murtoluvun liittämiseen luonnolliseen, vaan se täytyy aina algoritmillisesti konstruoida. Jos ei tarvitsisi pyyhkiä yli supistetussa muodossaan olevan luvun useita esiintymisiä, niin sitten lukuun n/m liitetty järjestysnumero i olisi helposti laskettavissa: i=(n-1)(n/2)+(n-1)(m-1)+m(m-1)/2. Tosin tämä lauseke pätee, jos lukuja luetellaan aina oikealta ylhäältä vasemmalle alaspäin eikä vuorotellen, mutta vastaavanlainen lauseke jossa esiintyisi tekijänä mod(2) saataisiin tässä käytetylle siksak-luetteloinnille.

Mutta koska näin ei voida tehdä, ja eri murtolukujen samat supistetut esitysmuodot samaistetaan, ei ole olemassa lausekkeellista bijektiivistä kuvausta N->Q. Meillä on siis vain käytäntö ja äärelliset tietokoneet murtolukujen liittämiseen luonnollisiin lukuihin.

Alla olevan kuvan soluissa alkioina olevat luvut ovat:

ylimpänä rivi- ja sarakenumeroa vastaava i/j
sen suora järjestysnumero
ylipyyhittyjen perusteella saatu uusi järjestysnumero
suurimman yhteisen tekijän supistuksen jälkeen saatu (i/j) supistettuna syt:llä

Mitä kauemmaksi luettelossa mennään, sitä suuremmaksi tulee ylipyyhittyjen murtolukujen määrä suhteessa kaikkiin osamääriin. Ensimmäinen ylipyyhitty on siis 2/2, joka on viides lueteltu luku. Miljoonannen luvun kohdalla ylipyyhittyjä on 39,120 %.

Solun numero	Ylipyyhittyja	Ylipyyhittyjä %
1	0	0,000
2	0	0,000
3	0	0,000
4	0	0,000
5	1	20,000
6	1	16,667
7	1	14,286
8	1	12,500
9	1	11,111
100	32	32,000
1000	368	36,800
10000	3845	38,450
100000	38990	38,990
1000000	391196	39,120

Lukujen luettelointijärjestyksestä johtuu, että jos luku yleensäkään voidaan sieventää, sen sievennetty versio on jo lueteltu, sillä luku i/j esiintyy luettelossa aina ennen lukua n*i/n*j. Tämä ylipyyhittyjen määrän kasvu ei ole niin oleellista, mutta onpahan vain artikkelissa mukana, kun tietokoneella ja luvuilla leikkiminen on niin hauskaa. Mutta seuraava asia on (oleellinen):

Kun tarkastellaan murtolukuun n/m liitettyä järjestyslukua (suoraa tai supistetut huomioiden) ja verrataan sitä suurimpaan taulukossa esiintyneeseen murtolukuun n/m listaamalla niitä alusta hieman...:

Suoraindeksi	Supistettu indeksi	Suurin murtoluku
1	1	1,000000
2	2	2,000000
3	3	2,000000
4	4	2,000000
5	5	2,000000
6	5	3,000000
7	6	4,000000
8	7	4,000000
9	8	4,000000
100	69	14,000000
1000	633	44,000000
10000	6156	140,000000
100000	61010	446,000000
1000000	608804	1414,000000

...havaitaan, että järjestysluku kasvaa huomattavan nopeasti ja on jokaisella vinorivillä suurempi kuin mikään sillä esiintyvä murtoluku, johon se on liitetty. Suurin murtoluku joka sijaitsee vinorivillä (ks. seuraava kuva alla), jolla sijaitsee luku n/m on ensimmäisellä sarakkeella sijaitseva (n+m-1), ja suurin suorista järjestysluvuista, jotka ylipäätänsä voidaan laskea, on (n+m-1)*(n+m)/2 ja näiden suhde 2/(n+m) lähestyy nollaa kun n+m kasvaa.

Luonnollisten lukujen joukko on kuitenkin murtolukujen aito osajoukko ja kaikille luonnollisillekin luvuille löytyy järjestysnumero. Varmasti jokaisella luonnollisella luvulla n on paikkansa taulukossa, onhan se n/1 ja esiintyy siis n:n rivin ensimmäisessä sarakkeessa. Mutta tästä huolimatta jokaisen vinorivin kohdalla voidaan konstruoida n kappaletta lukuja - nimittäin kaikki järjestysluvut - jotka eivät ole esiintyneet vielä listassa. Siis järjestysluvuille ei ole vielä löytynyt järjestyslukua.

Eikö tilanne muistuta taas samaa tapaa, jolla Cantor todisti, ettei reaalilukuja voida luetella? Varsinkin kun korostetaan sitä, ettei ole olemassa matemaattista lauseketta lukuun n/m liitetylle järjestysluvulle, koska ei tiedetä, kuinka monta sitä ennen on pyyhitty yli. Tai jos ylipyyhityt jätetään vain noteeraamatta eli luonnollisia lukuja "tuhlataan" ylimääräisten luettelointiin, niin sitten on lauseke (n-1)(n/2)+(n-1)(m-1)+m(m-1)/2, joka liittää murtolukuun n/m sen järjestysluvun.

Järjestysluku voidaan muuten päätellä pinta-aloja tarkastelemalla. Päätellään yllä olevasta kuvasta esim. ruudun 7/6 suora järjestysnumero. Koko eri väreillä väritetyn neliöosan pinta-ala on 12*12=(7+6-1)*(7+6-1). Siitä vähennetään alemman puolikkaan pinta-ala (12*11)/2 - joka voidaan päätellä siitä, että sarjan 1+2+...+n summa on (n+1)*(n/2) (Gaussin summa: ensimmäinen + viimeinen, toinen plus tokavika,.. niiden kaikkien arvo on n+1 ja niitä on n/2 kappaletta) - ja lisätään joko 7 tai 6 riippuen siitä, kumpaan suuntaan ollaan luettelemassa vinoriviä, jolla 7/6 sijaitsee. Ilmeisesti 7, koska (7+6) mod 2 = 1. Siis n/m:n suora järjestysnumeron on päätelty olevan (n+m-1)(n+m-1)-(n+m-2)(n+m-1)/2 johon lisätään joko n tai m riippuen siitä kumpaan suuntaan ollaan kuljettu eli lausekkeena esim.:((n+m) mod 2)(n+m)-m ja lauseke olisi muodossa (n+m-1)(n+m-1)-(n+m-2)(n+m-1)/2+n, jos vinorivejä kuljettaisiin aina samaan suuntaan, ja sieventyisi yllä antamaani muotoon.

Mitä haluan tarkasteluillani sanoa? Väittääkö, että taulukosta puuttuu jokin murtoluku n/m? Ei, sitä en halua sanoa ainakaan jos minun pitäisi kertoa, mikä luku siitä puuttuu, mutta ei siitä seuraa, että numeroitavuuden käsite olisi järkevä tai että Cantorin todistukset olisivat sitä tai että koko äärettömän käsitteessä olisi mieltä. Jos N:ään kelpuutetaan kaikki luvut n+1 jos n kuuluu N:ään, niin samoin kaikki murtoluvut muotoa a+1/n kelpuutetaan Q:hun jos a kuuluu Q:hun. Tästä seuraisikin, että reaaliluvut kuuluisivat Q:hun, sillä ne on määritelty rationaalilukujen päättymättöminä sarjoina. Esim. pii voidaan esittää muodossa pii=1-1/3+1/5-1/7+..., joka kuuluisi murtolukuihin samoin kun kaikki luvut n+1 kuuluvat aina N:ään jos n kuuluu N:ään.

Äärettömän käsitteeseen on matematiikassa törmätty raja-arvoja määrittelemällä. En tiedä, kuinka matemaatikot suhtautuvat esim. luvun 33333.../111111... raja-arvoon. Sehän on ilmiselvästi kolme. Tässä vain käytetään äärettömän pitkiä lukuja. Kuuluvatko ne N:ään? Jos eivät, niin millä perusteella? N:äänhän kuuluvat kaikki muotoa n+1 olevat luvut, jos n kuuluu N:ään. Ja luku 333333... voidaan määritellä äärettömänä summana 3+30+300+3000+... joka kuuluu N:ään, vaikka termejä olisi - ja kun niitä on - äärettömän monta. Tätä kautta N saataisiinkin yhtä mahtavaksi kuin R, jos luvuiksi kelpuutetaan äärettömän pitkät. Jos ei kelpuuteta, niin miksi muuten ylipäätänsä leikitään äärettömillä luvuilla, kun kaikki reaalinen on äärellistä (paitsi ehkä aika - paitsi ihmiselämälle)?

Rationaalilukujen luettelotempusta totean vielä: Esitin jo taulukkoluetteloon liittyen funktion F(n,m), jolla liitettiin rationaalilukuun (n/m) sen luonnollinen "luetteloluku" i = (n+1)(n/2) + (n-1)(m-1) + m(m-1)/2. Löytyykö tälle selkeää käänteiskuvausta ts. kahta lauseketta f(i) ja g(i), joilla luonnollisesta luvusta i saataisiin selville sitä vastaava murtoluku f(i) / g(i) = n / m, ilman että se täytyy laskea tietokoneella? Totesin, että siinä tapauksessa, että ylipyyhityt luvut huomioidaan, sitä ei voida laskea suoraan vaan se täytyy algoritmillisesti tutkia. Sinänsähän se on yksikäsitteisesti määrätty. Mutta jos ylipyyhittyjä ei huomioida - tai siis ei poisteta ollenkaan, niin suora yhtälö järjestyslukua i vastaavalle murtoluvulle löytyy.

Siis meillä ovat voimassa yhtälöt:

i = F(n,m) = (n-1)(n/2)+(n-1)(m-1)+m(m-1)/2 (tämän yhtälön 1: siis johdimme jo ylempänä pinta-aloja tarkastelemalla)
F(1,n+m-1) = m(m-1)/2 (vinorivin ensimmäinen alkio)
F(n+m-1,1) = n(n-1)/2 (vinorivin viimeinen alkio)

Toisaalta kuviota tarkastelemalla voidaan todeta: n = i-m(m-1)/2 ja m = n(n-1)/2 - i + 1

Siis: m = n*n/2 - n/2 - i+1 = 1/2+-sqrt(1/4+2(i-n))/(-i)

Tästä saadaan n:lle 4. asteen yhtälö, josta se voidaan ratkaista i:n suhteen ja sijoitetaan ratkaisu 1:een, josta ratkaistaan m i:n suhteen. Siis m/n on ratkaistavissa lausekkeellisesti järjestysluvusta i. Eli vaikka osittain saadaankin analyyttinen bijektio aikaiseksi myöskin N -> Q, (paitsi että tässä nyt taas jätetään huomioimatta se että Q:ssa luku n/m=(i*n)/(i*m) ja siis ylipyyhintää ei tehdä) mutta silti, yhtämahtavuuden määrittelyssä, tai koko äärettömyyden käsitteessä ei ole mieltä.

Maalijoukko täytyy määritellä siten, että kaikkien niiden alkioiden, jotka ovat kuvattuja Q:sta N:ään, täytyy myös olla kuvauksen N -> Q lähtöjoukossa. Ja tämä on mahdotonta, sillä aina kun otetaan uusi N:n alkio käyttöön, niin sekin pitäisi pystyä kuvaamaan, mutta sille kuvausta etsittäessä joudutaan ottamaan yhä uudempia ja aina vain isompia N:n alkiota käyttöön. Äärettömyyttä täytyy tarkastella siten, että mitä tapahtuu maali- ja kuvajoukoille siinä tilanteessa kun niitä alkioita "luetellaan".

Jos väitetään, että näin ei ole, niin sitten meidän täytyisi hyväksyä myös se, että Q on yhtä mahtava kuin R. Koska reaaliluvut ovat määriteltyjä rationaalilukujen päättymättöminä sarjojen summina. Jos tarkastellaan käsitettä kaikki reaaliluvut (johon siis kuuluvat rationaali- ja irrationaaliluvut) ja käsitettä koko rationaalilukujen joukko, niin täytyyhän tähän hyväksyä myös kaikki siihen kuuluvat vaikka äärettömän pitkätkin sarjat. Ja koska ne ovat sellaisiksi määriteltyjä (reaaliluvut), niin ne kuuluvat Q:hun. Koska jos luku a on rationaaliluku niin luku a+b on rationaaliluku. Yhtä hyvin kuin jos n on luonnollinen luku, niin n+1 on luonnollinen luku, aina.

Yhtä hyvin kuin hyväksymme kuinka suuren luvun tahansa äärettömän suureen luonnollisten lukujen joukkoon N, niin meidän on hyväksyttävä äärettömän pitkät rationaalilukujen summat (a+b+...) joukkoon Q. siis Q = R.

Petri Keckman. Suomen Amiga-käyttäjät ry:n Saku lehden artikkeli joskus vuonna 20000 ©️
Toinen artikkeli Saku-lehdessä: https://petke.info/suhtis/

--------------------------------------------------------------------

Lisäys artikkeliin 13.11.2025

Onko ääretön joukko looginen vai illuusio?

Cantorin todistus perustuu vastaoletukseen: oletetaan, että on olemassa joukko, joka sisältää kaikki reaaliluvut ja että nämä luvut voidaan luetella jossakin järjestyksessä. Tämän oletuksen varaan hän rakentaa diagonaalimenetelmänsä ja osoittaa, että näin muodostetusta listasta voidaan konstruoida uusi luku, joka ei ole listalla. Tästä hän päättelee, että reaalilukujen joukko ei voi olla numeroituva.

Mutta huomio: tämä on silti rakenteellisesti konstruktiivinen menetelmä, sillä se tuottaa eksplisiittisesti uuden luvun annetun listan perusteella. Jos metodi ei olisi konstruktiivinen, diagonaalilukua ei voitaisi määritellä lainkaan.

Numeroituvuus tarkoittaa täsmälleen sitä, että joukon alkiot voidaan asettaa yksikäsitteiseen vastaavuuteen luonnollisten lukujen kanssa – eli ne voidaan luetella. Jos tätä ei voi tehdä, joukko ei ole numeroituva.

Tähän liittyy kuitenkin syvempi ongelma: jo pelkkä luonnollisten lukujen äärettömän joukon olemassaolo edellyttää äärettömyysaksioomaa. Se aksiooma väittää, että on olemassa joukko, joka sisältää tyhjän joukon ja on suljettu “seuraajan” suhteen. Toisin sanoen: se olettaa äärettömyyden olemassa olevaksi.

Mutta jos hyväksymme tämän oletuksen, hyväksymme samalla sen, että “kaikki” luonnolliset luvut ovat olemassa yhtenä kokonaisuutena. Juuri tätä minä en voi hyväksyä – sillä sama logiikka, jolla Cantor todistaa reaalilukujen epänumeroituvuuden, voidaan soveltaa luonnollisiin lukuihin itseensä.

f(0)=a  konstruktio = a
f(1)=b  konstruktio = a+b
f(2)=c  konstruktio = a+b+c
f(3)=d  konstruktio = a+b+c+d
f(4)=e  konstruktio = a+b+c+d+e
f(5)=f  konstruktio = a+b+c+d+e+f
...

Tämä uusi luku on aina suurempi kuin yksikään listassa siihen mennessä esiintyneistä. Näin syntyy luku, jota ei vielä ollut listassa – aivan kuten Cantorin diagonaalissa syntyy luku, jota ei ollut reaalilukujen listalla.

Tässä kohdin esitetään usein vastaväite: “Mutta tuo summa a+b+c+d+… on ääretön, eikä siis kuulu N:ään.” Tämä kuulostaa ensi silmäyksellä järkevältä, mutta sisältää piilossa olevan oletuksen – nimittäin sen, että äärettömän luonnollisten lukujen lista voitaisiin todella käydä läpi.

Jokaisessa vaiheessa luku on kuitenkin edelleen äärellinen, koska luonnollisten lukujen yhteenlasku on aina äärellinen. Missä vaiheessa tästä luvusta sitten muka tulee ääretön? Listassa ei ole koskaan ääretöntä lukua, mutta jos hyväksymme äärettömyysaksiooman, lista tuottaa äärettömän luvun vain siksi, että olemme aksioomassa jo etukäteen olettaneet sen olemassaoloksi.

Näin ollen voimassa ovat samanaikaisesti kaksi ristiriitaista lausetta:
– Luku on äärellinen.
– Luku on ääretön.
RR.

Jos siis Cantorin logiikka on oikein reaalilukujen kohdalla, sen on oltava oikein myös luonnollisille luvuille. Mutta silloin päädymme järjettömään johtopäätökseen: luonnollisten lukujen joukko ei ole numeroituva. Tästä seuraa, että jos ääretön oletetaan olemassa olevaksi, syntyy väistämättä ristiriita. Jos taas ääretöntä ei oleteta, ristiriitaa ei synny lainkaan.

Peanon aksioomat kuvaavat, miten äärettömyys toimisi, jos se olisi olemassa. Äärettömyysaksiooma väittää, että se on olemassa. Mutta jos sitä yritetään konstruoida, se osoittautuu itseensä viittaavaksi paradoksiksi.